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混沌理论的要点

对初始状态的敏感依赖性

对初始状态的敏感依赖性(butterfly effect)。混沌是在自然界乃至社会中能够广泛观察到的状态,它通过时间序列的“动力系统”表现出来。著名的“蝴蝶效应”(butterfly effect)是对混沌理论最经典的表述:系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性是混沌运动的本质特征。众所周知,初始状态(自变量)的变化,导致后续状态(因变量)成比例的变化是线性系统的特征,而非线性系统的初始状态变化未必导致后续状态成比例的变化。混沌属非线性系统,并且系统中初始状态的微小变化导致非常显著的后续变化,后续状态对初始状态的这种特殊依赖关系,称为“对初始状态的敏感依赖性”。

非周期性

非周期性(nonperiodicity)。混沌是在确定的系统中表现为貌似随机的行为。在混沌的系统中,大多数初始条件会引出非周期行为,因此非周期行为被认为是混沌的基本特征。1975年“周期3意味着混沌”的著名论文指出这种非周期性的含义是:系统中的任意状态与三个时刻前的状态相同,而与一、二个时刻前的状态相异。

奇怪吸引子

奇怪吸引子(strange attractor)。混沌系统的行为特性还可以用几何形态表示出来,称“奇怪吸引子”,也称“混沌吸引子”。混沌吸引子的奇怪行为于1961年由日本学者Yoshisuki Ueda(上田皖亮)首先发现。1991年,联合国大学发起组织的“混沌对科学和社会的冲击”国际性学术会议在东京召开,Ueda以诙谐生动的语言,讲述了发现奇怪吸引子过程中经历的欣喜、艰辛与受到的非难。

奇怪吸引子是具有分形(fractal)结构的吸引子,是一种相空间(phase space)结构(用时间序列运动轨迹虚拟描绘的几何构形)。它的维数与系统的复杂性相关,是目前常用于定量表征吸引子几何形态的方法。另一个定量表征奇怪吸引子的是Lyapunov指数(李雅普诺夫指数),奇怪吸引子的维数可由李雅普诺夫指数而得。有学者概括,混沌一词反映系统的动力学特征,奇怪吸引子则表征吸引子的几何形态。混沌系统的吸引子具有奇异的几何特性,这与周期系统的“平庸吸引子”(periodic attractor)截然不同,数学家将其维数称为“分数维”(fractal dimension)。李雅普诺夫指数和维数是对动力系统进行定量评价的量度,分别量度动力学性态的规则性程度和几何结构,是被广泛用于评价混沌特征的两项指标。

 平庸吸引子与奇怪吸引子

平庸吸引子与奇怪吸引子

左图是平庸吸引子,内部结构简单,行为轨迹简单而重复;右图是奇怪吸引子,内部结构复杂,行为轨迹不重复;中图行为轨迹有一部分重复,介于周期(平庸吸引子)与混沌(奇怪吸引子)之间

自相似性

自相似性(self-sim ilarity)。自相似性与混沌系统的分形性有关,分形的概念源于维数。维数是确定几何对象中一点位置所需的坐标数,一个点是0维,直线是1维,平面是2维,空间是3维。以曲线、平面或立方体表现的点集(点集:点的任何聚合,通常是一条曲线、一个曲面或其他聚合体结构)分别具有一维、二维、三维的整数维性质,而一些特殊结构的点集缺少这些性质,表现为“奇形怪状”。数学家将这些无法用整数维对其性质结构进行描述的特殊点集的维数定义为“分数维”。具有分数维性质的点集称为“分形”。

在分形系统中,几个适当选择的片段,经适当放大后(数据量足够的情况下),每一个都与系统相同。这意味着每个片段的几个子片段经过放大后,等价于原片段,因而也等价于整个系统,即所谓自相似性。混沌系统与分形系统有密切关系,混沌运动的轨道或奇怪吸引子都是分形。分形是描述混沌运动的一种恰当的几何语言,分形与维数都是研究混沌现象的定量参数。

 分形

分形

各图是同一份心电数据(同一个动力学系统)不同记录时间长度的心电散点图,各图形轮廓相似(自相似),只是每幅图中的散点密度不同

分岔

分岔(bifurcation)。混沌状态具有普遍性,它可以持续发生,也可以间歇出现,前者称“完全混沌”,后者称“有限混沌”。完全混沌是指在系统中大多数运动轨迹显示敏感依赖性;有限混沌则指在系统中既有非周期性运动,也有周期或准周期运动。如果系统的时间行为忽而周期,忽而混乱,随机地在两者之间跳跃,则称之为间歇混沌,它源于“倍周期分岔”现象。因此,混沌的特征和程度可以被识别与评价。混沌的程度代表了系统在时间流动过程中所显示的复杂性,研究表明,节律的复杂性即混沌是正常生命活动过程中的普遍现象,混沌行为的丧失则往往是疾病的表征。

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