描述超短激光脉冲的基本参量

欲对飞秒激光有较深入的了解,需要对超短脉冲激光的基本特性及其数学描述有一个比较清晰的认识。众所周知,光波是极高频的电磁波,而激光是光波段的相干电磁波。超短脉冲激光也不例外。(读者不妨认为,我们这里所说的光波是广义的,并不仅限于可见光,而是可以包括红外光、紫外光甚至X光。)三维空间中的电磁场是矢量场,但为简便起见,我们仅考虑电磁场中某一电场分量的变化,或者是仅存在标量场的情况。在给定的空间某一点处,超短激光脉冲可以用一个时变的电场函数即方程(2. 2)来表示。

这一表达式中包含了单个超短激光脉冲的三个主要基本参量:振幅包络函数Eo(t),载波中心频率ωo,以及相位因子φ(t)。一般情况下,振幅包络和相位因子都是时间的函数,cos[ω0t+φ(t)]也被称为载波。在式(2. 2)中,振幅包络函数的时间分布特性确定了脉冲的形状。典型的脉冲形状有高斯型、双曲正割型、洛仑兹型、方波型等;载波中心频率主要决定了激光电磁波振荡的快慢程度或频谱中心的位置;相位因子则与下文中将要介绍的一个非常重要的概念-频率啁啾有关。如果相位因子φ(t)是一个不随时间变化的常数,则激光脉冲的载波频率也将是常数,即载波频率等于中心频率。如果脉冲包络函数是常量,即振幅不随时间变化,则电场就不再是一个脉冲电场(或者也可以认为是脉冲宽度为无限宽的电场)。如果相位因子和包络函数都是常数,则式(2. 2)简化为普通简谐波的表达式。

通过式(2. 2),我们看出,所谓超短脉冲激光可以看作是光波段的普通简谐电磁波经过脉冲调制后得到的光场(见图2-2)。该调制脉冲的持续时间可以非常之短,以至于在调制时间包络内,只有可数的光波振荡周期存在。举例来说,对于中心波长为600nm的可见光,其对应的光场振荡频率为5×1014Hz,振荡周期(等于频率的倒数)为2飞秒。这时,如果脉冲宽度为10飞秒,则在其脉冲宽度的范围内仅有5个光周期存在。在超快光学研究中,这样的脉冲有时也被称为少数周期脉冲。对飞秒激光眼科手术而言,一般所用飞秒脉冲激光的中心波长在1030nm左右,其所对应的光周期为3. 4飞秒。这样的条件下,如果脉冲宽度为150飞秒,则脉冲宽度内共有约44个光场振荡周期。需要特别指出的是,光场振动周期的大小是由其中心频率(或波长)决定的。

激光脉冲的波形

根据前面介绍的激光脉冲电场分布定义式(2. 2),E0(t)表示脉冲电场随时间变化的振幅包络。通常,脉冲的形状由振幅包络函数的时间分布特性所决定。图2-5中给出了高斯脉冲和方波脉冲两种脉冲波形的电场包络分布示意图,其中横轴t代表时间,纵轴是电场E0(t)。高斯脉冲包络函数分布为高斯型函数,其最大值为E0E0也常用来对脉冲光场进行归一化处理,即我们常将En(t)= E0(t)/E0作为E0(t)的归一化脉冲。方波脉冲在-T/2~T/2时间范围内电场包络为恒定值E0,在此范围以外,电场为零。实际应用中,不存在严格的方波脉冲,而最为常用的是高斯(型)脉冲和双曲正割(型)脉冲sech(t)。双曲正割脉冲的数学表达式为sech(t)=[exp(t)+exp(-t)]/2。

由电场E0(t)的时间分布决定的脉冲形状。高斯脉冲表达式中的参数a决定了脉冲的宽度

由电场E0(t)的时间分布决定的脉冲形状。高斯脉冲表达式中的参数a决定了脉冲的宽度

激光脉冲的电场和光强分布

下图1给出了中心波长800nm、脉宽为20飞秒的一个高斯型超短激光脉冲的电场(振荡曲线)和相应光强(钟形线)的模拟计算结果。图中还给出了归一化的时变电场及其强度的数学表达式。在此例中,我们取电场的相位因子为零,这样超短激光脉冲电场的具体表示形式仅由参数a和w0决定。a的取值由脉冲宽度给出,而载波中心频率(圆频率)w0与飞秒脉冲的中心波长的关系为:

载波中心频率(圆频率)w0与飞秒脉冲的中心波长的关系

式中,c和λ0分别为真空中的光速和波长。在本例中,800nm的中心波长对应的圆频率(有时也称之为角频率)为2. 36×1015rad/s,用通常的时间频率表示为:f0=w0/2π=c/λ0≈3. 75× 1014Hz。

与连续激光或长脉冲激光相比,飞秒激光脉冲的一个非常重要的特点是其自身光谱范围较宽。尽管在激光脉冲的相位因子是常数的情况下,脉冲的瞬间频率等于其中心载波频率,因此是一个定值,但是这并不意味着脉冲只有单一频率成分。由信号的傅里叶分析理论或者量子理论中的测不准原理可知,实际上,脉冲越短,其频谱越宽。例如,在近红外800nm附近的35飞秒的激光脉冲,其光谱宽度至少要大于20nm,而如果脉冲宽度是3. 5飞秒,则其光谱宽度将不小于200nm。因而在脉宽极短的情况下,该脉冲本身包含了各种不同颜色的光。这一特点决定了飞秒激光在任何一种介质中传输时,来自材料或光学器件本身的色散效应将会对飞秒激光产生很大的影响。加上可能存在的各种非线性光学效应,这就导致了飞秒激光脉冲的形状和相位在实际传输过程中会变得相当复杂。图2-7给出了在材料三阶色散效应影响下的飞秒脉冲的光电场分布。我们看到,这时脉冲是非对称的,在脉冲的后沿有多个次脉冲存在。

中心波长为800nm、脉宽为20fs的归一化的高斯型超短激光脉冲的电场

图1 中心波长为800nm、脉宽为20fs的归一化的高斯型超短激光脉冲的电场(蓝色振荡曲线)和相应光强(红色钟形线)分布。其中载波中心频率ω0由脉冲的中心波长确定,参数a由脉冲宽度确定

三阶色散效应作用下的飞秒脉冲的光电场分布

图2 三阶色散效应作用下的飞秒脉冲的光电场分布

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